3. Докажите, что пространственная диагональ AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD.

Направляющий вектор диагонали \(AC_1\): \(\overrightarrow{AC_1}=(2;2;2)\).

В плоскости \(A_1BD\) возьмём два пересекающихся в точке A₁ вектора: \(\overrightarrow{A_1B}=(2;0;-2)\) и \(\overrightarrow{A_1D}=(0;2;-2)\).

Проверим перпендикулярность: \((2;2;2)\cdot(2;0;-2)=4-4=0\); \((2;2;2)\cdot(0;2;-2)=4-4=0\). Диагональ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, значит, она перпендикулярна плоскости.

Следовательно, \(AC_1\perp(A_1BD)\).