4. Точка F лежит на диагонали B₁D и делит её в отношении B₁F : FD = 1 : 2. Найдите координаты F и расстояние FA. Что удивительного в полученном числе?

По формуле деления отрезка при отношении \(B_1F:FD=1:2\):

\(F=\frac{2B_1+D}{3}=\left(\frac43;\frac23;\frac43\right)\).

Расстояние до A(0; 0; 0): \(FA=\sqrt{(4/3)^2+(2/3)^2+(4/3)^2}=\sqrt{36/9}=2\).

Удивительно, что расстояние FA равно длине ребра куба, которая также равна 2.

Ответ: \(F(4/3; 2/3; 4/3)\), \(FA=2\).