3. Докажите тождество: (a²/(a + 5) − a³/(a² + 10a + 25)) : (a/(a + 5) − a²/(a² − 25)) = (5a − a²)/(a + 5).

Область допустимых значений: \(a\ne-5,5\); кроме того, делитель не должен быть нулём, поэтому \(a\ne0\).

Упростим первую скобку, учитывая, что \(a^2+10a+25=(a+5)^2\):

\(\dfrac{a^2}{a+5}-\dfrac{a^3}{(a+5)^2}=\dfrac{a^2(a+5)-a^3}{(a+5)^2}=\dfrac{5a^2}{(a+5)^2}.\)

Упростим вторую скобку:

\(\dfrac{a}{a+5}-\dfrac{a^2}{(a-5)(a+5)}=\dfrac{a(a-5)-a^2}{a^2-25}=\dfrac{-5a}{a^2-25}.\)

Тогда левая часть равна

\(\dfrac{5a^2}{(a+5)^2}:\dfrac{-5a}{a^2-25}=\dfrac{5a^2}{(a+5)^2}\cdot\dfrac{-(a-5)(a+5)}{5a}=\dfrac{-a(a-5)}{a+5}=\dfrac{5a-a^2}{a+5}.\)

Левая часть совпадает с правой при всех допустимых значениях переменной, следовательно, тождество доказано.