3. Докажите тождество: $\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}$.$ Фото задания

Accepted Answer

При допустимых значениях $\alpha$, когда знаменатели не равны нулю, приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+(1+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}.\]

Раскроем скобки в числителе и используем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

\[\frac{\sin^2\alpha+1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}=\frac{2(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}=\frac{2}{\sin\alpha}.\]

Левая часть равна правой на общей области определения, тождество доказано.

3. Докажите тождество: \(\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}\).