3) Две стороны треугольника равны \(5\sqrt2\) см и 6 см, угол между ними 45°. Найти третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим заданные стороны через \(a=5\sqrt2\) см и \(b=6\) см, а угол между ними — через \(C=45^\circ\).

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=50+36-2\cdot5\sqrt2\cdot6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=86-60=26\).

Значит, \(c=\sqrt{26}\) см.

Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12 ab\sin C=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=15\) см².

Ответ: третья сторона — \(\sqrt{26}\) см, площадь — 15 см².