5) Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найти наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Полупериметр: \(p=\frac{9+10+17}{2}=18\) см.

По формуле Герона площадь равна \(S=\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=36\) см².

Высота к стороне длины \(a\) равна \(h=\frac{2S}{a}\). Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне, 17 см: \(h_{\min}=\frac{72}{17}\) см.

Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{p}=\frac{36}{18}=2\) см.

Радиус описанной окружности: \(R=\frac{abc}{4S}=\frac{9\cdot10\cdot17}{4\cdot36}=\frac{85}{8}=10.625\) см.

Ответ: \(h_{\min}=\frac{72}{17}\) см, \(r=2\) см, \(R=10.625\) см.