3. Двугранный угол равен 45°. На одной из его граней дана точка, которая находится на расстоянии 6 см от второй грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Решение:

Пусть двугранный угол равен 45°. Пусть точка А находится на одной грани на расстоянии 6 см от второй грани. Расстояние от точки до ребра — это перпендикуляр, опущенный из точки на ребро. Обозначим ребро как CD. Пусть точка В лежит на второй грани, а точка А — на первой. Тогда расстояние от А до грани ABCD равно 6 см. Расстояние от А до ребра CD — это длина перпендикуляра из А к CD. Пусть это отрезок АС. Тогда угол между АС и плоскостью, содержащей точку А и перпендикуляр к CD, равен 45°.

Пусть точка Р лежит на ребре CD, и АР \(\perp\) CD. Пусть точка Q лежит на второй грани так, что PQ \(\perp\) CD. Тогда расстояние от А до второй грани равно PQ = 6 см. Угол APQ = 45°.

В прямоугольном треугольнике APQ, PQ = AP \(\sin(45°)\).

\( 6 = AP \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( AP = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \) см.

Ответ: А 6\(\sqrt{2}\) см.