9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, AB = a; AA₁ = c. Найдите расстояние между прямыми AB₁ и BC.

Решение:

Прямые AB₁ и BC являются скрещивающимися.

Чтобы найти расстояние между ними, проведем плоскость, перпендикулярную одной из прямых и пересекающую другую. Или найдем длину общего перпендикуляра.

Рассмотрим плоскость AA₁B₁B. Она перпендикулярна BC.

Расстояние между AB₁ и BC равно расстоянию от точки B₁ до прямой BC, если бы они были в одной плоскости, или от точки A до прямой B₁C.

Проведем через прямую BC плоскость, параллельную AB₁. Такой плоскости не существует.

Рассмотрим плоскость ABB₁A₁. Эта плоскость содержит прямую AB₁.

Расстояние между скрещивающимися прямыми AB₁ и BC равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим плоскость BCC₁B₁. Она содержит прямую BC.

Перпендикуляр из точки B₁ на прямую BC будет равен длине ребра BB₁ (так как BB₁ \(\perp\) BC), но это не будет общим перпендикуляром.

Рассмотрим плоскость AA₁D₁D. Она параллельна плоскости BB₁C₁C.

Расстояние между AB₁ и BC равно расстоянию от прямой AB₁ до плоскости BCC₁B₁.

Расстояние от точки A до плоскости BCC₁B₁ равно AB = a.

Расстояние от точки B₁ до плоскости BCC₁B₁ равно 0.

Рассмотрим векторное произведение. \( \vec{AB_1} = (a, 0, c) \) (если A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0), A1=(0,0,c), B1=(a,0,c)).

\( \vec{BC} = (0, a, 0) \).

Вектор, перпендикулярный обеим прямым: \( \vec{N} = \vec{AB_1} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & c \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - ac) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(a^2 - 0) = (-ac, 0, a^2) \).

Длина вектора \( \vec{N} = \sqrt{(-ac)^2 + 0^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^2c^2 + a^4} = a\sqrt{c^2 + a^2} \).

Возьмем точку на одной прямой, например, A=(0,0,0) на AB₁.

Расстояние равно \( \frac{|\vec{AN} \cdot \vec{N}|}{|\vec{N}|} \). \( \vec{AN} = \vec{A} = (0,0,0) \).

Это неверно.

Возьмем точку A на AB₁ и точку B на BC. Вектор AB = (a,0,0).

Расстояние = \( \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{N}|}{|\vec{N}|} = \frac{|(a,0,0) \cdot (-ac, 0, a^2)|}{a\sqrt{c^2 + a^2}} = \frac{|-a^2c|}{a\sqrt{c^2 + a^2}} = \frac{a^2c}{a\sqrt{c^2 + a^2}} = \frac{ac}{\sqrt{c^2 + a^2}} \).

Ответ: \( \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}} \).