3. Из 8 мальчиков и 10 девочек класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Для составления одной команды нужно выбрать 1 мальчика из 8 и 1 девочку из 10. Количество способов составить одну команду: \( 8 \times 10 = 80 \).

Так как нужно составить три такие команды, и состав команд не влияет друг на друга, мы можем считать, что для каждой команды есть 80 способов выбора. Однако, если команды одинаковые, то порядок их формирования не имеет значения. В условии не сказано, что команды различаются, поэтому будем считать, что порядок команд не важен.

Если команды различаются (например, команда 1, команда 2, команда 3), то способов будет \( 80 \times 80 \times 80 \). Но если команды одинаковые, нужно учесть, что мы выбираем 3 пары мальчик-девочка.

Более вероятная интерпретация: нужно выбрать 3 мальчиков из 8 и 3 девочек из 10, а затем распределить их по 3 командам.

Вариант 1: Различающиеся команды

Выбрать 3 мальчиков: \( C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \).

Выбрать 3 девочек: \( C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \).

Распределить 3 мальчиков по 3 командам: \( 3! = 6 \).

Распределить 3 девочек по 3 командам: \( 3! = 6 \).

Общее количество способов: \( C_8^3 \times C_{10}^3 \times 3! \times 3! = 56 \times 120 \times 6 \times 6 = 241920 \).

Вариант 2: Команды составляются последовательно, и каждый раз выбирается 1 мальчик и 1 девочка.

Первая команда: \( 8 \times 10 = 80 \) способов.

Вторая команда: \( 7 \times 9 = 63 \) способа.

Третья команда: \( 6 \times 8 = 48 \) способов.

Если команды различаются: \( 80 \times 63 \times 48 = 241920 \).

Если команды не различаются, и порядок формирования не важен:

Сначала выбираем 3 мальчиков: \( C_8^3 = 56 \).

Сначала выбираем 3 девочек: \( C_{10}^3 = 120 \).

Теперь нужно распределить мальчиков и девочек по 3 командам. Можно выбрать 1 мальчика и 1 девочку, затем 1 из оставшихся мальчиков и 1 из оставшихся девочек, и так далее.

Наиболее вероятная трактовка: выбрать 3 мальчиков (C_8^3), 3 девочек (C_10^3) и затем каждую пару мальчик-девочка можно составить 3! способами. Либо, как в варианте 2, выбрать мальчика и девочку для каждой команды.

Наиболее вероятно, что имеется в виду, что в каждой команде есть 1 мальчик и 1 девочка, и команды различаются (например, по времени старта).

\( (8 \times 10) \times (7 \times 9) \times (6 \times 8) = 80 \times 63 \times 48 = 241920 \) способов.

Если же команды не различаются, то нужно разделить на 3! (для мальчиков) и 3! (для девочек), если мы сначала выбрали группы мальчиков и девочек.

Сначала выберем 3 мальчиков: \( C_8^3 = 56 \). Затем 3 девочек: \( C_{10}^3 = 120 \). Теперь нужно составить 3 команды из этих 6 человек, где каждая команда состоит из 1 мальчика и 1 девочки. Это можно сделать \( 3! \) способами. \( 56 \times 120 \times 3! = 56 \times 120 \times 6 = 40320 \).

Так как условие задачи несколько двусмысленно, приведу наиболее вероятный ответ, предполагающий, что команды различаются.

Ответ: 241920 способами.