3. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 9 прыгунов из Норвегии и 6 прыгунов из Индии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что предпоследним будет выступать прыгун из Индии.

Решение:

Всего спортсменов: \( 20 \).

Спортсменов из Норвегии: \( 9 \).

Спортсменов из Индии: \( 6 \).

Количество спортсменов не из Индии и не из Норвегии: \( 20 - 9 - 6 = 5 \).

Нас интересует вероятность того, что предпоследним (19-м по счету) будет выступать прыгун из Индии.

Рассмотрим две ситуации:

1. Первый спортсмен из Индии выступает предпоследним (19-м).
• Вероятность того, что 19-м будет прыгун из Индии, составляет \( \frac{6}{20} \) (6 прыгунов из Индии из 20 всего).
• После того, как мы знаем, что 19-м выступает спортсмен из Индии, остается 19 спортсменов, из которых 5 — из Индии.
• Вероятность того, что последний (20-й) будет не из Индии, составляет \( \frac{15}{19} \) (15 не-индийских спортсменов из 19 оставшихся).
• Вероятность такого исхода: \( \frac{6}{20} \times \frac{15}{19} \).
2. Последний спортсмен (20-й) выступает из Индии.
• Вероятность того, что 20-м будет прыгун из Индии, составляет \( \frac{6}{20} \).
• Вероятность того, что 19-м будет прыгун из Индии, при условии, что 20-й тоже из Индии, составляет \( \frac{5}{19} \) (5 оставшихся прыгунов из Индии из 19).
• Вероятность такого исхода: \( \frac{6}{20} \times \frac{5}{19} \).

Чтобы найти общую вероятность того, что предпоследним будет прыгун из Индии, нужно сложить вероятности этих двух взаимоисключающих случаев:

\( P(\text{19-й из Индии}) = P(\text{19-й из Индии, 20-й не из Индии}) + P(\text{19-й из Индии, 20-й из Индии}) \)

\( P(\text{19-й из Индии}) = \left( \frac{6}{20} \times \frac{15}{19} \right) + \left( \frac{6}{20} \times \frac{5}{19} \right) \)

\( P(\text{19-й из Индии}) = \frac{90}{380} + \frac{30}{380} = \frac{120}{380} \).

Сократим дробь:

\( \frac{120}{380} = \frac{12}{38} = \frac{6}{19} \).

Ответ: \( \frac{6}{19} \).