3. Найдите угол \(A_1CC_1\) прямоугольного параллелепипеда, для которого \(AB=9\), \(AD=12\), \(AA_1=15\). Ответ дайте в градусах.

Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(C=(9,12,0)\), \(A_1=(0,0,15)\), \(C_1=(9,12,15)\). Тогда \(\overrightarrow{CA_1}=(-9,-12,15)\), а \(\overrightarrow{CC_1}=(0,0,15)\).

Их скалярное произведение равно \(225\), длины равны \(|CA_1|=\sqrt{81+144+225}=\sqrt{450}=15\sqrt2\) и \(|CC_1|=15\). Поэтому \(\cos\angle A_1CC_1=\frac{225}{15\sqrt2\cdot15}=\frac1{\sqrt2}\).

Ответ: \(45^\circ\).