8. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен \(0{,}25\sqrt{11}\). Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть сторона основания равна \(s\), высота пирамиды — \(h\), а радиус вписанной окружности основания — \(r=\frac{s\sqrt3}{6}\). Сечение плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и середину стороны основания, показывает, что тангенс угла между боковой гранью и основанием равен \(\frac hr=\frac{\sqrt{11}}4\). Следовательно, \(h^2=\frac{11}{16}r^2=\frac{11s^2}{192}\).

Расстояние от центра основания до его вершины равно радиусу описанной окружности \(\frac{s}{\sqrt3}\). По прямоугольному треугольнику с гипотенузой, равной боковому ребру 5: \(h^2+\frac{s^2}{3}=25\).

Подставим выражение для \(h^2\): \(\frac{11s^2}{192}+\frac{s^2}{3}=25\), откуда \(\frac{75s^2}{192}=25\), \(s^2=64\). Так как длина положительна, \(s=8\).

Ответ: 8.