7. В правильной шестиугольной призме \(ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны 10. Найдите угол \(AC_1C\). Ответ дайте в градусах.

Расположим основание в плоскости \(z=0\), а боковые рёбра направим вдоль оси \(z\). В правильном шестиугольнике диагональ \(AC\), соединяющая вершины через одну, равна \(10\sqrt3\). Поэтому расстояние между проекциями точек \(A\) и \(C_1\) на основание равно \(AC=10\sqrt3\), а высота призмы равна 10.

Отрезок \(C_1C=10\), а \(AC_1=\sqrt{(10\sqrt3)^2+10^2}=20\). В треугольнике \(ACC_1\) угол при \(C\) прямой, следовательно, для угла при \(C_1\): \(\cos\angle AC_1C=\frac{C_1C}{AC_1}=\frac12\).

Ответ: \(60^\circ\).