3. Найти частное комплексных чисел: а) 1 / (1 - i); б) (3 + i) / (2 - 2i).

Решение:

Найдём частное комплексных чисел.

1. а) Вычислим \( \frac{1}{1-i} \):
   Чтобы разделить комплексные числа, домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю: \( · \frac{1+i}{1+i} \).
   \( \frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 - i^2} = \frac{1+i}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \)
2. б) Вычислим \( \frac{3+i}{2-2i} \):
   Домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю \( 2+2i \).
   \( \frac{3+i}{2-2i} = \frac{(3+i)(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)} = \frac{3 · 2 + 3 · 2i + i · 2 + i · 2i}{2^2 - (2i)^2} = \frac{6 + 6i + 2i + 2i^2}{4 - 4i^2} = \frac{6 + 8i - 2}{4 - 4(-1)} = \frac{4 + 8i}{4 + 4} = \frac{4 + 8i}{8} = \frac{4}{8} + \frac{8}{8}i = \frac{1}{2} + i \)

Ответ: а) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \); б) \( \frac{1}{2} + i \).