6. Решите уравнения в комплексных числах: а) x² - 8x + 17 = 0; б) x² + ix + 20 = 0.

Решение:

1. а) Решим уравнение \( x^2 - 8x + 17 = 0 \).
   Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \).
   Здесь \( a=1, b=-8, c=17 \).
   \( D = (-8)^2 - 4 · 1 · 17 = 64 - 68 = -4 \).
   Так как \( D < 0 \), корни будут комплексными. \( D = -4 \) означает \( ± 2i \) как квадратный корень.
   Корни уравнения: \( x = \frac{-b ± √{D}}{2a} \)
   \( x_1 = \frac{8 + √{-4}}{2} = \frac{8 + 2i}{2} = 4 + i \)
   \( x_2 = \frac{8 - √{-4}}{2} = \frac{8 - 2i}{2} = 4 - i \).
2. б) Решим уравнение \( x^2 + ix + 20 = 0 \).
   Это квадратное уравнение с комплексным коэффициентом. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \).
   Здесь \( a=1, b=i, c=20 \).
   \( D = i^2 - 4 · 1 · 20 = -1 - 80 = -81 \).
   Квадратный корень из \( -81 \) будет \( ± 9i \).
   Корни уравнения: \( x = \frac{-b ± √{D}}{2a} \)
   \( x_1 = \frac{-i + √{-81}}{2} = \frac{-i + 9i}{2} = \frac{8i}{2} = 4i \)
   \( x_2 = \frac{-i - √{-81}}{2} = \frac{-i - 9i}{2} = \frac{-10i}{2} = -5i \).

Ответ: а) \( x_1 = 4 + i, x_2 = 4 - i \); б) \( x_1 = 4i, x_2 = -5i \).