4. Изобразить на координатной плоскости и представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) -3; б) -i; в) 1 + i; г) -1 + i√3.

Решение:

Для представления комплексного числа \( z = x + yi \) в тригонометрической форме \( z = r(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}) \), где \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) — модуль, а \( \varphi \) — аргумент, найдём модуль и аргумент для каждого числа.

а) \( z = -3 \)

• \( x = -3, y = 0 \)
• Модуль: \( r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \)
• Аргумент: \( \cos{\varphi} = \frac{-3}{3} = -1 \), \( \sin{\varphi} = \frac{0}{3} = 0 \). Следовательно, \( \varphi = \pi \).
• Тригонометрическая форма: \( 3(\cos{\pi} + i\sin{\pi}) \)

б) \( z = -i \)

• \( x = 0, y = -1 \)
• Модуль: \( r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \)
• Аргумент: \( \cos{\varphi} = \frac{0}{1} = 0 \), \( \sin{\varphi} = \frac{-1}{1} = -1 \). Следовательно, \( \varphi = \frac{3\pi}{2} \) (или \( -\frac{\pi}{2} \)).
• Тригонометрическая форма: \( 1(\cos{\frac{3\pi}{2}} + i\sin{\frac{3\pi}{2}}) \)

в) \( z = 1 + i \)

• \( x = 1, y = 1 \)
• Модуль: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
• Аргумент: \( \cos{\varphi} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin{\varphi} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Следовательно, \( \varphi = \frac{\pi}{4} \).
• Тригонометрическая форма: \( \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) \)

г) \( z = -1 + i\sqrt{3} \)

• \( x = -1, y = \sqrt{3} \)
• Модуль: \( r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \)
• Аргумент: \( \cos{\varphi} = \frac{-1}{2} \), \( \sin{\varphi} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Следовательно, \( \varphi = \frac{2\pi}{3} \).
• Тригонометрическая форма: \( 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}) \)

Ответ: а) \( 3(\cos{\pi} + i\sin{\pi}) \); б) \( 1(\cos{\frac{3\pi}{2}} + i\sin{\frac{3\pi}{2}}) \); в) \( \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) \); г) \( 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}) \).