4. Изобразить на координатной плоскости и представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) 1 - i; б) -√3 + i.

Решение:

Изобразим комплексные числа на координатной плоскости и представим их в тригонометрической форме.

1. а) Комплексное число \( z = 1 - i \):
   Изобразим точку \( (1, -1) \) на комплексной плоскости.
   Модуль числа \( r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \).
   Аргумент числа \( \varphi \): \( \cos φ = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( \sin φ = \frac{-1}{\sqrt{2}} \). Угол \( \varphi = -\frac{π}{4} \) или \( \frac{7π}{4} \).
   Тригонометрическая форма: \( z = \sqrt{2} · \left( \cos(-\frac{π}{4}) + i · \sin(-\frac{π}{4}) \right) \) или \( z = \sqrt{2} · \left( \cos(\frac{7π}{4}) + i · \sin(\frac{7π}{4}) \right) \).
2. б) Комплексное число \( z = -\sqrt{3} + i \):
   Изобразим точку \( (-\sqrt{3}, 1) \) на комплексной плоскости.
   Модуль числа \( r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \).
   Аргумент числа \( \varphi \): \( \cos φ = \frac{-\sqrt{3}}{2} \), \( \sin φ = \frac{1}{2} \). Угол \( \varphi = \frac{5π}{6} \).
   Тригонометрическая форма: \( z = 2 · \left( \cos(\frac{5π}{6}) + i · \sin(\frac{5π}{6}) \right) \).

Ответ: а) \( z = \sqrt{2} · \left( \cos(-\frac{π}{4}) + i · \sin(-\frac{π}{4}) \right) \); б) \( z = 2 · \left( \cos(\frac{5π}{6}) + i · \sin(\frac{5π}{6}) \right) \).