5. Найти координаты точки М, изображающей комплексное число: Z = (2 - 3i) / (2i + 1) - i + (6i - 4) / (i + 2).

Решение:

Найдем координаты точки М, изображающей комплексное число \( Z \).

1. Вычислим первое слагаемое: \( \frac{2-3i}{1+2i} \).
   Домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю \( 1-2i \):
   \( \frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2 - 4i - 3i + 6i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{2 - 7i - 6}{1 - 4i^2} = \frac{-4 - 7i}{1 + 4} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i \).
2. Вычислим третье слагаемое: \( \frac{6i-4}{i+2} = \frac{-4+6i}{2+i} \).
   Домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю \( 2-i \):
   \( \frac{(-4+6i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{-8 + 4i + 12i - 6i^2}{2^2 - i^2} = \frac{-8 + 16i + 6}{4 - (-1)} = \frac{-2 + 16i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{16}{5}i \).
3. Теперь сложим все части выражения для \( Z \):
   \( Z = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) - i + \left(-\frac{2}{5} + \frac{16}{5}i\right) \)
   \( Z = \left(-\frac{4}{5} - \frac{2}{5}\right) + i · \left(-\frac{7}{5} - 1 + \frac{16}{5}\right) \)
   \( Z = \left(-\frac{6}{5}\right) + i · \left(-\frac{7}{5} - \frac{5}{5} + \frac{16}{5}\right) \)
   \( Z = -\frac{6}{5} + i · \left(\frac{-7-5+16}{5}\right) \)
   \( Z = -\frac{6}{5} + i · \frac{4}{5} = -1.2 + 0.8i \).

Координаты точки М соответствуют действительной и мнимой частям комплексного числа Z. Таким образом, точка М имеет координаты \( (-1.2; 0.8) \).

Ответ: \( (-1.2; 0.8) \).