3. Найти частное комплексных чисел: а) 1/i; б) 1/(2+i); в) (3-i)/(2+i).

Решение:

Чтобы найти частное комплексных чисел, нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.

а) \( \frac{1}{i} \)

Сопряжённое к \( i \) — это \( -i \).

\( \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i \)

б) \( \frac{1}{2+i} \)

Сопряжённое к \( 2+i \) — это \( 2-i \).

\( \frac{1}{2+i} = \frac{1 \cdot (2-i)}{(2+i) \cdot (2-i)} = \frac{2-i}{2^2 - i^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i \)

в) \( \frac{3-i}{2+i} \)

Сопряжённое к \( 2+i \) — это \( 2-i \).

\( \frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i) \cdot (2-i)}{(2+i) \cdot (2-i)} = \frac{3 \cdot 2 + 3 \cdot (-i) - i \cdot 2 - i \cdot (-i)}{2^2 - i^2} = \frac{6 - 3i - 2i + i^2}{4 - (-1)} = \frac{6 - 5i - 1}{5} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i \)

Ответ: а) \( -i \); б) \( \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i \); в) \( 1 - i \).