6. Решите уравнения в комплексных числах: а) x² - 4x + 8 = 0; б) x² + ix + 6 = 0.

Решение:

а) \( x^2 - 4x + 8 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 \)

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 4i}{2} \)

Отсюда получаем два корня:

\( x_1 = \frac{4 + 4i}{2} = 2 + 2i \)

\( x_2 = \frac{4 - 4i}{2} = 2 - 2i \)

б) \( x^2 + ix + 6 = 0 \)

Это квадратное уравнение с комплексным коэффициентом. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -1 - 24 = -25 \)

Теперь найдём квадратный корень из \( D = -25 \). В комплексных числах \( \sqrt{-25} = \pm 5i \).

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x = \frac{-i \pm 5i}{2 \cdot 1} \)

Отсюда получаем два корня:

\( x_1 = \frac{-i + 5i}{2} = \frac{4i}{2} = 2i \)

\( x_2 = \frac{-i - 5i}{2} = \frac{-6i}{2} = -3i \)

Ответ: а) \( x_1 = 2 + 2i, x_2 = 2 - 2i \); б) \( x_1 = 2i, x_2 = -3i \).