5. Найти координаты точки М, изображающей комплексное число: z= (5+i)/(2-i) + (-2+i)/(3-2i).

Решение:

Для нахождения координат точки \( M \), изображающей комплексное число \( z \), нужно представить \( z \) в виде \( x + yi \) и взять \( x \) и \( y \).

\( z = \frac{5+i}{2-i} + \frac{-2+i}{3-2i} \)

Преобразуем первое слагаемое:

\( \frac{5+i}{2-i} = \frac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10 + 5i + 2i + i^2}{2^2 - i^2} = \frac{10 + 7i - 1}{4 - (-1)} = \frac{9 + 7i}{5} = \frac{9}{5} + \frac{7}{5}i \)

Преобразуем второе слагаемое:

\( \frac{-2+i}{3-2i} = \frac{(-2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{-6 - 4i + 3i + 2i^2}{3^2 - (2i)^2} = \frac{-6 - i - 2}{9 - 4i^2} = \frac{-8 - i}{9 - 4(-1)} = \frac{-8 - i}{9 + 4} = \frac{-8 - i}{13} = -\frac{8}{13} - \frac{1}{13}i \)

Сложим полученные результаты:

\( z = (\frac{9}{5} + \frac{7}{5}i) + (-\frac{8}{13} - \frac{1}{13}i) = (\frac{9}{5} - \frac{8}{13}) + (\frac{7}{5} - \frac{1}{13})i \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{9}{5} - \frac{8}{13} = \frac{9 \cdot 13 - 8 \cdot 5}{5 \cdot 13} = \frac{117 - 40}{65} = \frac{77}{65} \)

\( \frac{7}{5} - \frac{1}{13} = \frac{7 \cdot 13 - 1 \cdot 5}{5 \cdot 13} = \frac{91 - 5}{65} = \frac{86}{65} \)

Таким образом, \( z = \frac{77}{65} + \frac{86}{65}i \).

Координаты точки \( M \) — это действительная и мнимая части комплексного числа \( z \).

Ответ: \( M(\frac{77}{65}, \frac{86}{65}) \).