3. Найти экстремум функции с помощью второго правила: f(x)=x²·e⁻ˣ и вычислить значение функции в этой точке.

Найдём производные:

f′(x)=e⁻ˣ(2x−x²)=x(2−x)e⁻ˣ.

Критические точки: x=0 и x=2, поскольку e⁻ˣ не обращается в ноль.

Вторая производная:

f″(x)=e⁻ˣ(x²−4x+2).

При x=0 имеем f″(0)=2>0, значит, это точка минимума; f(0)=0.

При x=2 имеем f″(2)=−2e⁻²<0, значит, это точка максимума; f(2)=4/e².

Ответ: минимум f(0)=0; максимум f(2)=4/e².