7. Решить уравнение: y′ sin x − y cos x = 1, y(1)=1, x=π/2.

Разделим уравнение на sin x (на рассматриваемом промежутке sin x≠0):

y′−y cot x=csc x.

Интегрирующий множитель равен csc x. После умножения получаем (y csc x)′=csc² x, откуда

y csc x=−cot x+C, то есть y=−cos x+C sin x.

Из условия y(1)=1 следует 1=−cos 1+C sin 1, поэтому C=(1+cos 1)/sin 1. При x=π/2:

y(π/2)=C=(1+cos 1)/sin 1.

Ответ: y(x)=−cos x+((1+cos 1)/sin 1)sin x; y(π/2)=(1+cos 1)/sin 1.