3 Найти косинусы углов между векторами АВ и BC; BC и CD

Решение:

Косинус угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле: \( \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \).

1. Косинус угла между \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \):

\( \vec{AB} = (-2; -2; 3) \), \( |\vec{AB}| = \sqrt{17} \)

\( \vec{BC} = (4; -2; -3) \), \( |\vec{BC}| = \sqrt{29} \)

Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2)(4) + (-2)(-2) + (3)(-3) = -8 + 4 - 9 = -13 \)

\( \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{BC})) = \frac{-13}{\sqrt{17} \sqrt{29}} = \frac{-13}{\sqrt{493}} \)

2. Косинус угла между \( \vec{BC} \) и \( \vec{CD} \):

\( \vec{BC} = (4; -2; -3) \), \( |\vec{BC}| = \sqrt{29} \)

\( \vec{CD} = (-2; -2; 2) \), \( |\vec{CD}| = 2\sqrt{3} \)

Скалярное произведение \( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = (4)(-2) + (-2)(-2) + (-3)(2) = -8 + 4 - 6 = -10 \)

\( \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{CD})) = \frac{-10}{\sqrt{29} (2\sqrt{3})} = \frac{-10}{2\sqrt{87}} = \frac{-5}{\sqrt{87}} \)

Ответ: \( \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{BC})) = \frac{-13}{\sqrt{493}} \), \( \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{CD})) = \frac{-5}{\sqrt{87}} \).