3. Найти ортогональную компоненту вектора \(\vec b=(-1,-1,-1)\) на вектор \(\vec a=(-4,6,-3)\).

Ортогональная компонента — это часть \(\vec b\), перпендикулярная \(\vec a\): \(\vec b_{\perp}=\vec b-\operatorname{proj}_{\vec a}\vec b\).

Вычислим скалярное произведение и квадрат длины \(\vec a\): \(\vec a\cdot\vec b=4-6+3=1\), \(\vec a\cdot\vec a=16+36+9=61\).

\(\operatorname{proj}_{\vec a}\vec b=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}\vec a=\frac1{61}(-4,6,-3)\).

Следовательно, \(\vec b_{\perp}=(-1,-1,-1)-\left(-\frac4{61},\frac6{61},-\frac3{61}\right)=\left(-\frac{57}{61},-\frac{67}{61},-\frac{58}{61}\right)\). Проверка: скалярное произведение этого вектора с \(\vec a\) равно нулю.

Ответ: \(\left(-\frac{57}{61},-\frac{67}{61},-\frac{58}{61}\right)\).