6. Даны векторы $\vec a=(2,1,-2)$, $\vec b=(-2,-3,-2)$ и $\vec c=(-2,1,3)$. Найти вектор $\vec d$ длины $12\sqrt{13}$, компланарный векторам $\vec a$ и $\vec b$, ортогональный вектору $\vec c$ и направленный так, что тройка $\vec d,\vec b,\vec c$ — правая.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Даны векторы $\vec a=(2,1,-2)$, $\vec b=(-2,-3,-2)$ и $\vec c=(-2,1,3)$. Найти вектор $\vec d$ длины…$ Фото задания

6. Даны векторы $\vec a=(2,1,-2)$, $\vec b=(-2,-3,-2)$ и $\vec c=(-2,1,3)$. Найти вектор $\vec d$ длины $12\sqrt{13}$, компланарный векторам $\vec a$ и $\vec b$, ортогональный вектору $\vec c$ и направленный так, что тройка $\vec d,\vec b,\vec c$ — правая.

Accepted Answer

Так как $\vec d$ компланарен $\vec a$ и $\vec b$, запишем $\vec d=x\vec a+y\vec b$. Условие ортогональности $\vec d$ и $\vec c$ даёт $\vec d\cdot\vec c=0$. Здесь $\vec a\cdot\vec c=-9$, $\vec b\cdot\vec c=-5$, поэтому $-9x-5y=0$, то есть $y=-\frac95x$.

Следовательно, $\vec d=x\left(\vec a-\frac95\vec b\right)=\frac{x}{5}(28,32,8)$. Длина вектора $(28,32,8)$ равна $\sqrt{28^2+32^2+8^2}=12\sqrt{13}$. Из условия $|\vec d|=12\sqrt{13}$ получаем $|x|=5$, поэтому возможны два направления: $(28,32,8)$ и $(-28,-32,-8)$.

Чтобы выбрать направление, проверим ориентацию. $\vec b\times\vec c=(-7,10,-8)$, а $(28,32,8)\cdot(\vec b\times\vec c)=-196+320-64=60>0$. Значит, тройка $(28,32,8),\vec b,\vec c$ правая.

Ответ: $\vec d=(28,32,8)$.