4. Найти проекцию вектора \(\vec b=(4,3,1)\) на вектор \(\vec a=(-2,1,2)\).

Вычислим скалярное произведение и квадрат длины вектора \(\vec a\): \(\vec a\cdot\vec b=-8+3+2=-3\), \(\vec a\cdot\vec a=4+1+4=9\).

Векторная проекция равна \(\operatorname{proj}_{\vec a}\vec b=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}\vec a=-\frac13(-2,1,2)=\left(\frac23,-\frac13,-\frac23\right)\).

Алгебраическая скалярная проекция равна \(\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}=-1\).

Ответ: векторная проекция — \(\left(\frac23,-\frac13,-\frac23\right)\); скалярная проекция — \(-1\).