3. Объем первого шара в 512 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Решение:

Обозначим радиусы шаров как \( R_1 \) и \( R_2 \), а объемы и площади поверхностей как \( V_1, S_1 \) и \( V_2, S_2 \) соответственно.

Объем шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Площадь поверхности шара: \( S = 4\pi R^2 \).

Из условия \( V_1 = 512 V_2 \).

1. Запишем объемы через радиусы: \( \frac{4}{3}\pi R_1^3 = 512 x \frac{4}{3}\pi R_2^3 \).
2. Сократим одинаковые множители: \( R_1^3 = 512 R_2^3 \).
3. Извлечем кубический корень из обеих частей: \( R_1 = x R_2 \) (поскольку \( \sqrt[3]{512} = 8 \)).
4. Теперь найдем отношение площадей поверхности: \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} \).
5. Подставим \( R_1 = 8 R_2 \): \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{(8 R_2)^2}{R_2^2} = \frac{64 R_2^2}{R_2^2} = 64 \).

Ответ: площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго в 64 раза.