3. Основанием пирамиды MABC служит прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), AC = 6, BC = 8. Боковые рёбра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Найдите \(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CB}\right|\).

Сначала сложим векторы по правилу треугольника: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\). Поэтому искомая величина равна \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right|=|\overrightarrow{AM}|=AM\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\).

Пусть \(O\) — проекция вершины \(M\) на плоскость основания. Поскольку каждое боковое ребро образует с основанием угол 60°, его проекция на основание равна \(MO/\tan 60°\). Значит, \(OA=OB=OC\), и \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\). В прямоугольном треугольнике он является серединой гипотенузы, поэтому \(OA=AB/2=5\).

Из угла между ребром \(MA\) и основанием следует \(\cos 60°=OA/AM\). Следовательно, \(AM=OA/\cos 60°=5/(1/2)=10\).

Ответ: 10.