4. Дан тетраэдр ABCD. Точка K — середина медианы DM треугольника ADC. Выразите вектор \(\overrightarrow{BK}\) через векторы \(\mathbf{a}=\overrightarrow{BA}\), \(\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}\), \(\mathbf{c}=\overrightarrow{BD}\).

Так как \(DM\) — медиана треугольника \(ADC\), точка \(M\) — середина \(AC\). Отсчитывая радиус-векторы от точки \(B\), получаем \(\overrightarrow{BM}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})/2\).

Точка \(K\) — середина отрезка \(DM\), поэтому радиус-вектор точки \(K\) равен среднему радиус-векторов его концов:

\(\overrightarrow{BK}=(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BM})/2=\frac12\left(\mathbf{c}+\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}2\right)=\frac14\mathbf{a}+\frac14\mathbf{b}+\frac12\mathbf{c}.\)

Ответ: \(\overrightarrow{BK}=\frac14\mathbf{a}+\frac14\mathbf{b}+\frac12\mathbf{c}\).