5. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника ACD₁ пересекаются в точке M. Разложите вектор \(\overrightarrow{BM}\) по векторам \(\mathbf{a}=\overrightarrow{BA}\), \(\mathbf{b}=\overrightarrow{BB_1}\), \(\mathbf{c}=\overrightarrow{BC}\).

Точка пересечения медиан треугольника — его центр тяжести. Выберем точку \(B\) за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин треугольника равны: \(\overrightarrow{BA}=\mathbf{a}\), \(\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}\).

В параллелепипеде \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}\), поэтому \(\overrightarrow{BD}=\mathbf{a}+\mathbf{c}\), а \(\overrightarrow{BD_1}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}\).

Следовательно, радиус-вектор центра тяжести треугольника \(ACD_1\) равен среднему радиус-векторов его вершин:

\(\overrightarrow{BM}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD_1}}3=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}+\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}3=\frac23\mathbf{a}+\frac13\mathbf{b}+\frac23\mathbf{c}.\)

Ответ: \(\overrightarrow{BM}=\frac23\mathbf{a}+\frac13\mathbf{b}+\frac23\mathbf{c}\).