№ 3. Плоскости α и β, параллельные стороне AB треугольника ABC, пересекают сторону AC соответственно в точках N и M, а сторону BC — в точках E и K. Отрезок MN в три раза больше отрезка CN, а отрезок AM вдвое короче MN. Найдите AB, если NE = 12 см.

Так как плоскость α параллельна AB, линия её пересечения с плоскостью треугольника, NE, параллельна AB. По подобию треугольников CNE и CAB: NE/AB = CN/CA.

Обозначим CN = x. Тогда MN = 3x, а AM = MN/2 = 1,5x. Точки на AC расположены в порядке A–M–N–C, поэтому AC = AM + MN + CN = 1,5x + 3x + x = 5,5x.

Значит, CN/CA = x/(5,5x) = 2/11. Тогда 12/AB = 2/11, откуда AB = 12 · 11/2 = 66 см.

Ответ: 66 см.