№ 4. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, AB = AD = 12 см, AA₁ = 3 см. Найдите площадь сечения AKEC, где K — середина A₁B₁ и E — середина B₁C₁.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), D(0; 12; 0), C(12; 12; 0), A₁(0; 0; 3), B₁(12; 0; 3), C₁(12; 12; 3). Тогда K(6; 0; 3), E(12; 6; 3).

Разобьём сечение AKEC диагональю AE на треугольники AKE и AEC. Их площади найдём по половине модуля векторного произведения сторон:

S_AKE = 9√6 см², S_AEC = 18√6 см².

Следовательно, S_AKEC = 9√6 + 18√6 = 27√6 см².

Ответ: 27√6 см².