№ 5. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, E — середина CC₁. Определите число сторон сечения плоскостью, которая проходит через точки A, B₁ и E.

Обозначим через F середину ребра DC. Покажем, что F лежит в заданной плоскости. Возьмём куб с ребром 1 и координатами A(0; 0; 0), B₁(1; 0; 1), E(1; 1; 0,5). Уравнение плоскости через эти точки: −2x + y + 2z = 0.

Точка F имеет координаты (0,5; 1; 0), и −2 · 0,5 + 1 + 2 · 0 = 0. Значит, F принадлежит плоскости. Сечение проходит по граням куба через точки A, B₁, E и F и образует четырёхугольник AB₁EF.

Ответ: 4 стороны.