3. Постройте график функции y = ((x² + 2,25)(x − 1))/(1 − x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne1\). При \(x\ne1\) сокращаем дробь:

\[y=-(x^2+2.25)=-x^2-2.25.\]

Это парабола с ветвями вниз, из которой исключена точка \((1,-3.25)\). На графике она отмечена пустым кружком.

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(x^2+kx+2.25=0\), но значение \(x=1\) не входит в область определения графика. Дискриминант равен \(D=k^2-9\).

• При \(|k|<3\) действительных точек пересечения нет.

• При \(k=3\) или \(k=-3\) уравнение имеет один корень, отличный от 1, значит, есть ровно одна общая точка.

• При \(|k|>3\) обычно получаются две общие точки. Одна из них исключена, если \(x=1\) является корнем: \(1+k+2.25=0\), откуда \(k=-3.25=-\frac{13}{4}\). В этом случае остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=-3\), \(k=3\), \(k=-\frac{13}{4}\).