3) Решить систему уравнений (б) с помощью определителя: а) {8x + y = 6; x + y = 3}; б) {3x + 2y = 8; 5y − 3x = 6}; в) {x + y − z = 2; 2x − y − z = 0; 3x + 2y − 6z = −2}.

а) Вычтем второе уравнение из первого: \(7x=3\), значит \(x=\frac37\). Подставим во второе: \(y=3-\frac37=\frac{18}{7}\).

Ответ: \((x,y)=\left(\frac37,\frac{18}{7}\right)\).

б) Используем правило Крамера. Для системы \(3x+2y=8\), \(-3x+5y=6\):

\(\Delta=\begin{vmatrix}3&2\\-3&5\end{vmatrix}=15+6=21\).

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}8&2\\6&5\end{vmatrix}=40-12=28\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}3&8\\-3&6\end{vmatrix}=18+24=42\).

Следовательно, \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac43\), \(y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=2\).

Ответ: \((x,y)=\left(\frac43,2\right)\).

в) Вычтем первое уравнение из второго: \(x-2y=-2\), откуда \(x=2y-2\). Из первого уравнения \(z=x+y-2=3y-4\). Подставим выражения в третье:

\(3(2y-2)+2y-6(3y-4)=-2\), откуда \(-14y=-20\), поэтому \(y=\frac{10}{7}\). Тогда \(x=\frac67\), \(z=\frac27\).

Ответ: \((x,y,z)=\left(\frac67,\frac{10}{7},\frac27\right)\).