4)**. Решите уравнение: x⁴+x³+x²-x-2=0

Решение:

Уравнение: \( x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0 \)

1. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена -2: \( \pm 1, \pm 2 \).
2. Проверим \( x = 1 \): \( 1^4 + 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0 \). Значит, \( x = 1 \) — корень.
3. Проверим \( x = -1 \): \( (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 - 1 + 1 + 1 - 2 = 0 \). Значит, \( x = -1 \) — корень.
4. Проверим \( x = -2 \): \( (-2)^4 + (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) - 2 = 16 - 8 + 4 + 2 - 2 = 12 \neq 0 \).
5. Проверим \( x = 2 \): \( 2^4 + 2^3 + 2^2 - 2 - 2 = 16 + 8 + 4 - 2 - 2 = 24 \neq 0 \).
6. Так как \( x=1 \) и \( x=-1 \) являются корнями, то многочлен делится на \( (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \). Выполним деление многочлена \( x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 \) на \( x^2 - 1 \):
• \( (x^4 - x^2) + x^3 + 2x^2 - x - 2 \)
• \( x^2(x^2 - 1) + x(x^2 - 1) + 2x^2 - 2 \)
• \( x^2(x^2 - 1) + x(x^2 - 1) + 2(x^2 - 1) \)
• \( (x^2 - 1)(x^2 + x + 2) = 0 \)
7. Таким образом, \( (x-1)(x+1)(x^2+x+2) = 0 \).
8. Найдём корни квадратного уравнения \( x^2 + x + 2 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 \). Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \( x = 1, x = -1 \).