5). Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр равен 18 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). По условию:

1. Сумма квадратов сторон: \( a^2 + b^2 = 45 \) см²
2. Периметр: \( 2(a + b) = 18 \) см.

Из второго уравнения найдём сумму сторон:

\[ a + b = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} \]

Возведём обе части этого уравнения в квадрат:

\[ (a + b)^2 = 9^2 \]

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 81 \]

Подставим значение \( a^2 + b^2 = 45 \) из первого уравнения:

\[ 45 + 2ab = 81 \]

Найдём \( 2ab \):

\[ 2ab = 81 - 45 = 36 \]

Теперь рассмотрим квадратное уравнение, корнями которого являются \( a \) и \( b \). Такое уравнение имеет вид \( t^2 - (a+b)t + ab = 0 \). Мы знаем, что \( a+b=9 \) и \( 2ab=36 \), значит \( ab = 18 \).

Уравнение будет: \( t^2 - 9t + 18 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]

\[ t_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6 \]

\[ t_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3 \]

Значит, стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см.

Проверка:

Сумма квадратов сторон: \( 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \) (верно).

Периметр: \( 2(3 + 6) = 2 \cdot 9 = 18 \) (верно).

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см.