3. Решить уравнение: √x - 1 = 3 - x

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x - 1} = 3 - x \) возведём обе части в квадрат, предварительно убедившись, что правая часть неотрицательна, то есть \( 3 - x \ge 0 \), что означает \( x \le 3 \).

\[ (\sqrt{x - 1})^2 = (3 - x)^2 \]

\[ x - 1 = 9 - 6x + x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 6x + 9 - x + 1 = 0 \]

\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь проверим полученные корни с условием \( x \le 3 \).

Корень \( x_1 = 5 \) не удовлетворяет условию \( x \le 3 \), так как \( 5 > 3 \).

Корень \( x_2 = 2 \) удовлетворяет условию \( x \le 3 \). Подставим его в исходное уравнение:

\[ \sqrt{2 - 1} = 3 - 2 \]

\[ \sqrt{1} = 1 \]

\[ 1 = 1 \]

Равенство выполняется.

Ответ: \( x = 2 \).