5. Решить уравнение: 4^x-2 + 4^x+1 = 65

Решение:

Для решения уравнения \( 4^{x-2} + 4^{x+1} = 65 \) вынесем общий множитель \( 4^x \).

Перепишем степени:

\[ 4^{x-2} = 4^x
4^{-2} = \frac{4^x}{16} \]

\[ 4^{x+1} = 4^x
4^1 = 4 \cdot 4^x \]

Подставим в уравнение:

\[ \frac{4^x}{16} + 4 \cdot 4^x = 65 \]

Введём замену: пусть \( y = 4^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ \frac{y}{16} + 4y = 65 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{y + 16 \cdot 4y}{16} = 65 \]

\[ \frac{y + 64y}{16} = 65 \]

\[ \frac{65y}{16} = 65 \]

Разделим обе части на 65:

\[ \frac{y}{16} = 1 \]

\[ y = 16 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 4^x \):

\[ 4^x = 16 \]

Так как \( 16 = 4^2 \), то:

\[ 4^x = 4^2 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ x = 2 \]

Ответ: \( x = 2 \).