4. Решить неравенство: (1/25)^(x-1) < 25^(2x+4)

Решение:

Для решения неравенства \( \left(\frac{1}{25}\right)^{x-1} < 25^{2x+4} \) приведём обе части к одному основанию. Заметим, что \( \frac{1}{25} = 25^{-1} \).

\[ (25^{-1})^{x-1} < 25^{2x+4} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
} \):

\[ 25^{-(x-1)} < 25^{2x+4} \]

\[ 25^{-x+1} < 25^{2x+4} \]

Так как основание степени \( 25 > 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:

\[ -x + 1 < 2x + 4 \]

Решим полученное линейное неравенство. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 1 - 4 < 2x + x \]

\[ -3 < 3x \]

Разделим обе части на 3:

\[ -1 < x \]

Или, что то же самое:

\[ x > -1 \]

Ответ: \( x \in (-1; +\infty) \).