7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x³ + 3x² + 2 на отрезке [-1; 2]

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 2 \) на отрезке \( [-1; 2] \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

\[ f'(x) = (2x^3 + 3x^2 + 2)' = 6x^2 + 6x \]

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 6x^2 + 6x = 0 \]

\[ 6x(x + 1) = 0 \]

Отсюда \( x = 0 \) или \( x = -1 \). Обе эти точки принадлежат отрезку \( [-1; 2] \).

3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• При \( x = -1 \): \( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2 = 2(-1) + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3 \)
• При \( x = 0 \): \( f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 \)
• При \( x = 2 \): \( f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 + 2 = 2(8) + 3(4) + 2 = 16 + 12 + 2 = 30 \)
4. Сравнить полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее:
• Наибольшее значение: \( 30 \)
• Наименьшее значение: \( 2 \)

Ответ: Наибольшее значение функции равно 30, а наименьшее значение равно 2.