3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)(x+2)}{x-8}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)(x+2)}{x-8}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}>0$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Критические точки: $-2$, $2$ — нули числителя; $8$ — нуль знаменателя, который исключается. Знак дроби на промежутках:

\[(-\infty,-2):-,\quad(-2,2):+,\quad(2,8):-,\quad(8,+\infty):+.\]

Выбираем промежутки, где дробь отрицательна; точки $-2$, $2$ не подходят из-за строгого неравенства, а $8$ не входит в область определения.

а) Ответ: $(-\infty,-2)\cup(2,8)$.

б) Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}=\frac{(x-5)^2}{(x-6)(x+2)}.\]

Знаменатель положителен при $x<-2$ и $x>6$, отрицателен при \(-2

б) Ответ: $(-\infty,-2)\cup(6,+\infty)$.

3. Решите неравенство: а) \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-8}<0\); б) \(\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}>0\).