4*. а) Упростите выражение $\left(\frac{1}{n^2-n}+\frac{1}{n^2+n}\right):\frac{n+3}{n^2-1}$. б) Найдите значение полученного выражения при $n=-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4*. а) Упростите выражение $\left(\frac{1}{n^2-n}+\frac{1}{n^2+n}\right):\frac{n+3}{n^2-1}$. б) Найдите значение…$ Фото задания

4*. а) Упростите выражение $\left(\frac{1}{n^2-n}+\frac{1}{n^2+n}\right):\frac{n+3}{n^2-1}$. б) Найдите значение полученного выражения при $n=-1$.

Accepted Answer

а) В исходном выражении должны быть определены все знаменатели, а делитель не должен быть равен нулю. Поэтому $n\ne -1,0,1,-3$.

Сложим дроби в скобках:

\[\frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)+(n-1)}{n(n-1)(n+1)}=\frac{2}{n^2-1}.\]

Теперь разделим на дробь:

\[\frac{2}{n^2-1}:\frac{n+3}{n^2-1}=\frac{2}{n+3}.\]

Полученная формула равносильна исходному выражению только при его допустимых значениях, в частности при $n\ne -1,0,1,-3$.

б) В исходном выражении при $n=-1$ знаменатели $n^2+n$ и $n^2-1$ равны нулю, поэтому исходное выражение при этом значении не определено. Если в пункте б) требуется подставить $-1$ именно в упрощённую формулу, то $\frac{2}{-1+3}=1$.

Ответ: а) $\frac{2}{n+3}$; б) исходное выражение при $n=-1$ не определено; значение упрощённой формулы равно 1.

4*. а) Упростите выражение \(\left(\frac{1}{n^2-n}+\frac{1}{n^2+n}\right):\frac{n+3}{n^2-1}\). б) Найдите значение полученного выражения при \(n=-1\).

Ответ: