5*. Докажите справедливость неравенства: а) \(x^2+y^2-2x+4y+5>0\); б) \(x^4-3x^2-2x+6>0\); в) \(x^2+2x+\frac{1}{x^2+2x+2}>0\).

а) Дополнением до квадратов получаем:

\[x^2+y^2-2x+4y+5=(x-1)^2+(y+2)^2.\]

Это выражение неотрицательно, но не всегда строго положительно: при \(x=1\), \(y=-2\) оно равно нулю. Следовательно, неравенство в условии неверно для всех действительных \(x,y\); например, при этих значениях получается \(0\not>0\).

б) Рассмотрим многочлен \(p(x)=x^4-3x^2-2x+6\). Его производная равна \(p'(x)=2(x+1)(2x^2-2x-1)\). Возможные точки минимума: \(-1\), \(\alpha=\frac{1+\sqrt3}{2}\) и \(\beta=\frac{1-\sqrt3}{2}\). Поскольку \(p(x)\to+\infty\) при \(x\to\pm\infty\), наименьшее значение достигается в одной из этих точек.

В точке \(-1\): \(p(-1)=6\). В точках \(\alpha,\beta\), используя равенство \(2x^3-3x-1=0\), получаем \(p(\alpha)=\frac34(5-2\sqrt3)>0\) и \(p(\beta)=\frac34(5+2\sqrt3)>0\). Значит, \(p(x)>0\) при всех действительных \(x\).

в) Обозначим \(t=(x+1)^2\), тогда \(t\ge0\), \(x^2+2x=t-1\), а \(x^2+2x+2=t+1\). Поэтому

\[x^2+2x+\frac{1}{x^2+2x+2}=t-1+\frac{1}{t+1}=\frac{t^2}{t+1}.\]

При \(t=0\) выражение равно нулю, что происходит при \(x=-1\). Значит, строгое неравенство в пункте в) тоже неверно для всех действительных \(x\). Например, при \(x=-1\) левая часть равна \(0\).

Ответ: б) неравенство верно при всех действительных \(x\); а) и в) в записанном виде неверны: в а) равенство достигается при \((x,y)=(1,-2)\), а в в) — при \(x=-1\).