3. Решите неравенство: \(\frac{x^4(5-x)}{x^2-49} \le 0\)

Решение:

Для решения рационального неравенства \(\frac{x^4(5-x)}{x^2-49} \le 0\) используем метод интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: $$x^4(5-x) = 0 \rightarrow x=0$$ (кратность 4, четная) или $$x=5$$ (кратность 1, нечетная).
• Знаменатель: $$x^2-49 = 0 \rightarrow (x-7)(x+7) = 0 \rightarrow x=7$$ или $$x=-7$$ (кратность 1, нечетная).

Отметим критические точки на числовой оси: -7, 0, 5, 7.

Определим знаки на интервалах:

• Интервал $$(-∞; -7)$$: Возьмем $$x=-8$$. \(\frac{(-8)^4(5-(-8))}{(-8)^2-49} = \frac{+ ∙ +}{+} = +\).
• Интервал $$(-7; 0)$$: Возьмем $$x=-1$$. \(\frac{(-1)^4(5-(-1))}{(-1)^2-49} = \frac{+ ∙ +}{-} = -\).
• Интервал $$(0; 5)$$: Возьмем $$x=1$$. \(\frac{(1)^4(5-1)}{(1)^2-49} = \frac{+ ∙ +}{-} = -\).
• Интервал $$(5; 7)$$: Возьмем $$x=6$$. \(\frac{(6)^4(5-6)}{(6)^2-49} = \frac{+ ∙ -}{+} = -\).
• Интервал $$(7; +∞)$$: Возьмем $$x=8$$. \(\frac{(8)^4(5-8)}{(8)^2-49} = \frac{+ ∙ -}{+} = -\).

Так как $$x=0$$ имеет четную кратность, знак на интервалах, смежных с 0, не меняется. Однако, поскольку все остальные множители на данном интервале дают отрицательный результат, то и на интервалах $$(-7; 0)$$, $$(0; 5)$$, $$(5; 7)$$, $$(7; +∞)$$ функция будет отрицательной.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x e -7$$ и $$x e 7$$.

Нам нужно \(≤ 0\), то есть отрицательные значения и нули. Нули числителя: $$x=0$$ и $$x=5$$. $$x=0$$ включен, $$x=5$$ включен.

Рассмотрим знаки более внимательно:

• $$(-∞; -7)$$: +
• $$(-7; 0)$$: -
• $$(0; 5)$$: -
• $$(5; 7)$$: -
• $$(7; +∞)$$: -

Учитывая, что $$x=0$$ — корень четной кратности, знак не меняется при переходе через него. Однако, так как само значение выражения отрицательное на соседних интервалах, то \(x=0\) является решением.

Неравенство \(\frac{x^4(5-x)}{x^2-49} \le 0\) выполняется, когда:

• $$x^4(5-x) ≥ 0$$ и $$x^2-49 > 0$$
• Или $$x^4(5-x) ≤ 0$$ и $$x^2-49 < 0$$

Проще использовать метод интервалов с учетом знаков:

• $$x < -7$$: +
• $$x = -7$$: знаменатель = 0 (не входит)
• $$-7 < x < 0$$: -
• $$x = 0$$: числитель = 0 (входит)
• $$0 < x < 5$$: -
• $$x = 5$$: числитель = 0 (входит)
• $$5 < x < 7$$: -
• $$x = 7$$: знаменатель = 0 (не входит)
• $$x > 7$$: -

Нам нужно \(≤ 0\). Это интервалы $$(-7; 0]$$, $$(0; 5]$$, $$(5; 7)$$, $$(7; +∞)$$.

Учитывая, что $$x=0$$ имеет четную кратность, он является решением.

Вернемся к знакам:

Неравенство \(\le 0\) выполняется на интервалах $$(-7; 0]$$, $$(0; 5]$$ и $$(7; +∞)$$.

Однако, при $$x=0$$, знаменатель не равен нулю, числитель равен нулю, поэтому $$x=0$$ является решением.

При $$x=5$$, числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю, поэтому $$x=5$$ является решением.

При $$x=-7$$ и $$x=7$$, знаменатель равен нулю, поэтому эти точки не входят в решение.

Пересмотр знаков:

• $$(-∞; -7)$$: +
• $$(-7; 0)$$: -
• $$(0; 5)$$: -
• $$(5; 7)$$: +
• $$(7; +∞)$$: -

Неравенство \(\le 0\) выполняется на интервалах $$(-7; 5]$$ и $$(7; +∞)$$.

Но нужно учесть $$x=0$$. $$x=0$$ является решением.

Правильное решение с учетом кратности корней:

• Критические точки: -7, 0 (четная), 5, 7.
• Интервал $$(-∞; -7)$$: +
• Интервал $$(-7; 0)$$: -
• Интервал $$(0; 5)$$: - (знак не меняется при переходе через 0)
• Интервал $$(5; 7)$$: +
• Интервал $$(7; +∞)$$: -

Нам нужно \(\le 0\). Это интервалы $$(-7; 5]$$ и $$(7; +∞)$$.

Включаем $$x=0$$ и $$x=5$$. Исключаем $$x=-7$$ и $$x=7$$.

Решение: $$(-7; 0] ∪ [0; 5] ∪ (7; +∞) = (-7; 5] ∪ (7; +∞)$$.

Еще раз проверим знаки:

Таким образом, решение: $$(-7; 5] ∪ (7; +∞)$$.

Ответ: (-7; 5] U (7; +∞)