4. Решите систему неравенств: \(\begin{cases} -x^2+6x-5 \le 0 \\ 5-2(x+2)> -3x \end{cases}\)

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $$-x^2 + 6x - 5 ≤ 0$$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $$x^2 - 6x + 5 ≥ 0$$.

Найдем корни уравнения $$x^2 - 6x + 5 = 0$$.

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 6$$, $$x_1 ∙ x_2 = 5$$. Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 5$$.

Парабола $$y = x^2 - 6x + 5$$ направлена ветвями вверх. Неравенство \(x^2 - 6x + 5 ≥ 0\) выполняется при $$x ≤ 1$$ или $$x ≥ 5$$.

Второе неравенство: $$5 - 2(x+2) > -3x$$.

Раскроем скобки: $$5 - 2x - 4 > -3x$$.

Упростим: $$1 - 2x > -3x$$.

Перенесем члены с $$x$$ в левую часть: $$-2x + 3x > -1$$.

Получим: $$x > -1$$.

Теперь объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение интервалов:

• $$x ≤ 1$$ или $$x ≥ 5$$
• $$x > -1$$

Пересечение:

• $$(-1; 1]$$
• $$[5; +∞)$$

Таким образом, решением системы является объединение этих двух интервалов.

Ответ: (-1; 1] U [5; +∞)