5. Решите систему неравенств: \(\begin{cases} x^2-3x+7 > 0 \\ x^2 \le 25 \end{cases}\)

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $$x^2 - 3x + 7 > 0$$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $$x^2 - 3x + 7$$.

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 ∙ 1 ∙ 7 = 9 - 28 = -19$$.

Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$) и коэффициент при $$x^2$$ положительный ($$a=1 > 0$$), то парабола $$y = x^2 - 3x + 7$$ всегда находится выше оси x. Следовательно, неравенство $$x^2 - 3x + 7 > 0$$ выполняется для всех действительных чисел $$x ∈ (-∞; +∞)$$.

Второе неравенство: $$x^2 ≤ 25$$.

Это эквивалентно $$|x| ≤ 5$$, что означает $$-5 ≤ x ≤ 5$$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

• $$x ∈ (-∞; +∞)$$
• $$x ∈ [-5; 5]$$

Пересечением будет интервал $$[-5; 5]$$.

Ответ: [-5; 5]