6. Решите совокупность неравенств: \(\begin{cases} x^2-9 < 0 \\ 3x^2-8x+5 \le 0 \end{cases}\)

Решение:

Решим каждое неравенство совокупности по отдельности.

Первое неравенство: $$x^2 - 9 < 0$$.

Разложим на множители: $$(x-3)(x+3) < 0$$.

Корни: $$x=3$$ и $$x=-3$$. Парабола $$y = x^2 - 9$$ направлена ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями: $$-3 < x < 3$$.

Второе неравенство: $$3x^2 - 8x + 5 ≤ 0$$.

Найдем корни уравнения $$3x^2 - 8x + 5 = 0$$.

Дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 ∙ 3 ∙ 5 = 64 - 60 = 4$$.

Корни:

• $$x_1 = \frac{8 - √{4}}{2 ∙ 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$.
• $$x_2 = \frac{8 + √{4}}{2 ∙ 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$.

Парабола $$y = 3x^2 - 8x + 5$$ направлена ветвями вверх. Неравенство \(3x^2 - 8x + 5 ≤ 0\) выполняется между корнями, включая их: $$1 ≤ x ≤ \frac{5}{3}$$.

Совокупность неравенств означает, что решением является объединение решений каждого неравенства.

Решение первого неравенства: $$(-3; 3)$$.

Решение второго неравенства: $$[1; \frac{5}{3}]$$.

Объединение этих решений:

$$(-3; 3) ∪ [1; \frac{5}{3}]$$.

Так как интервал $$[1; \frac{5}{3}]$$ полностью содержится в интервале $$(-3; 3)$$, объединение будет равно интервалу $$(-3; 3)$$.

Ответ: (-3; 3)