3) Решите систему уравнений (а, б) с помощью определителя: а) {8x + y = 6; x + y = 3}; б) {3x + 2y = 8; 5y − 3x = 6}; в) {x + y − z = 2; 2x − y − z = 0; 3x + 2y − 6z = −2} (методом Гаусса).

а) Метод определителей. Главный определитель: \(\Delta=\begin{vmatrix}8&1\\1&1\end{vmatrix}=7\). Определители неизвестных: \(\Delta_x=\begin{vmatrix}6&1\\3&1\end{vmatrix}=3\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}8&6\\1&3\end{vmatrix}=18\). Поэтому \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac37\), \(y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{18}{7}\).

б) Метод определителей. Запишем второе уравнение как \(-3x+5y=6\). Тогда \(\Delta=\begin{vmatrix}3&2\\-3&5\end{vmatrix}=21\), \(\Delta_x=\begin{vmatrix}8&2\\6&5\end{vmatrix}=28\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}3&8\\-3&6\end{vmatrix}=42\). Следовательно, \(x=\frac43\), \(y=2\).

в) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и выполним исключение неизвестных:

\[\begin{pmatrix}1&1&-1&|&2\\2&-1&-1&|&0\\3&2&-6&|&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,\;R_3-3R_1}\begin{pmatrix}1&1&-1&|&2\\0&-3&1&|&-4\\0&-1&-3&|&-8\end{pmatrix}\]

Заменим вторую строку на \(R_2-3R_3\): получим во второй строке \((0,0,10\mid20)\), значит \(z=2\). Из третьей строки \(-y-3z=-8\), поэтому \(y=2\). Из первой строки \(x+y-z=2\), поэтому \(x=2\).

Ответ: а) \(x=\frac37,\;y=\frac{18}{7}\); б) \(x=\frac43,\;y=2\); в) \(x=2,\;y=2,\;z=2\).