5) Решите с помощью системы уравнений. Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр равен 18 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) и \(y\) см. Тогда:

\[\begin{cases}x^2+y^2=45,\\2(x+y)=18.\end{cases}\]

Из второго уравнения \(x+y=9\). Возведём эту сумму в квадрат: \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\), откуда \(81=45+2xy\) и \(xy=18\).

Числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \(t^2-9t+18=0\). Разложение: \((t-3)(t-6)=0\). Значит, стороны равны 3 см и 6 см; обе положительны, как и требуется для сторон прямоугольника.

Ответ: 3 см и 6 см.